Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / Matematika

Contoh Soal Turunan SMA dan Pembahasan Lengkap

Posting Komentar

Contoh soal turunan SMA lengkap dengan pembahasan dan jawaban. Cocok untuk latihan, persiapan ujian, dan memahami konsep turunan fungsi matematika SMA.

Turunan merupakan salah satu materi inti dalam Matematika SMA, khususnya pada kelas 11 dan kelas 12. Materi ini menjadi dasar penting dalam pembelajaran kalkulus serta sangat berkaitan dengan konsep limit yang telah dipelajari sebelumnya. Turunan sering digunakan untuk menentukan laju perubahan, gradien garis singgung, kecepatan, dan berbagai aplikasi lainnya dalam kehidupan sehari-hari maupun ilmu pengetahuan.

Tidak sedikit siswa yang merasa kesulitan memahami materi turunan karena melibatkan banyak rumus dan aturan. Padahal, jika konsep dasarnya dipahami dengan baik dan disertai latihan soal yang cukup, turunan justru menjadi materi yang logis dan terstruktur. Kunci utama dalam menguasai turunan adalah memahami aturan dasar dan mampu menerapkannya secara sistematis.

Artikel ini menyajikan contoh soal turunan SMA dan pembahasan lengkap yang disusun secara bertahap, mulai dari konsep dasar hingga penerapan sederhana. Artikel ini sangat cocok untuk belajar mandiri, bahan latihan menghadapi ujian sekolah.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan fungsi adalah laju perubahan nilai suatu fungsi terhadap perubahan variabelnya. Secara geometris, turunan menyatakan gradien garis singgung suatu kurva di titik tertentu. Secara matematis, turunan didefinisikan sebagai limit dari selisih nilai fungsi.

Notasi turunan fungsi biasanya ditulis sebagai:

  • f’(x)

  • y’

  • dy/dx

Turunan banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, percepatan, pertumbuhan, dan kemiringan grafik.

Aturan Dasar Turunan

Sebelum mengerjakan contoh soal, siswa perlu memahami beberapa aturan dasar turunan berikut:

  1. Turunan konstanta:
    Jika f(x) = c, maka f’(x) = 0

  2. Turunan pangkat:
    Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n·xⁿ⁻¹

  3. Turunan konstanta dikali fungsi:
    Jika f(x) = k·g(x), maka f’(x) = k·g’(x)

  4. Turunan penjumlahan dan pengurangan:
    (f(x) ± g(x))’ = f’(x) ± g’(x)

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

Soal 1

Tentukan turunan dari fungsi:
f(x) = 5

Jawaban:
f’(x) = 0

Pembahasan:
Turunan dari suatu konstanta selalu bernilai nol.

Soal 2

Tentukan turunan dari:
f(x) = x²

Jawaban:
f’(x) = 2x

Pembahasan:
Gunakan aturan turunan pangkat, yaitu n·xⁿ⁻¹.

Soal 3

Tentukan turunan dari:
f(x) = 4x³

Jawaban:
f’(x) = 12x²

Pembahasan:
Koefisien dikalikan dengan pangkat, kemudian pangkat dikurangi satu.

Soal 4

Tentukan turunan dari:
f(x) = 3x² + 5x − 7

Jawaban:
f’(x) = 6x + 5

Pembahasan:
Turunkan setiap suku secara terpisah.

Contoh Soal Turunan Fungsi dengan Beberapa Suku

Soal 5

Tentukan turunan dari:
f(x) = 2x³ − 4x² + 6x

Jawaban:
f’(x) = 6x² − 8x + 6

Soal 6

Tentukan turunan dari:
f(x) = x⁴ + 2x² − 5

Jawaban:
f’(x) = 4x³ + 4x

Turunan Fungsi Pecahan

Soal 7

Tentukan turunan dari:
f(x) = 3/x

Jawaban:
f’(x) = −3/x²

Pembahasan:
Ubah fungsi ke bentuk pangkat negatif, lalu gunakan aturan turunan pangkat.

Soal 8

Tentukan turunan dari:
f(x) = 2x⁻²

Jawaban:
f’(x) = −4x⁻³

Turunan Fungsi Akar

Soal 9

Tentukan turunan dari:
f(x) = √x

Jawaban:
f’(x) = 1 / (2√x)

Pembahasan:
Ubah akar ke bentuk pangkat, lalu terapkan aturan turunan pangkat.

Soal 10

Tentukan turunan dari:
f(x) = 2√x

Jawaban:
f’(x) = 1 / √x

Contoh Soal Turunan Fungsi Komposisi Sederhana

Soal 11

Tentukan turunan dari:
f(x) = (x² + 1)

Jawaban:
f’(x) = 2x

Soal 12

Tentukan turunan dari:
f(x) = (3x² − 2x + 4)

Jawaban:
f’(x) = 6x − 2

Aplikasi Turunan dalam Soal Cerita

Soal 13

Diketahui fungsi posisi suatu benda adalah:
s(x) = x² + 4x

Tentukan fungsi kecepatan benda tersebut.

Jawaban:
v(x) = s’(x) = 2x + 4

Pembahasan:
Kecepatan merupakan turunan dari fungsi posisi.

Soal 14

Jika fungsi biaya dinyatakan dengan:
C(x) = x³ − 3x² + 2x

Tentukan fungsi biaya marginalnya.

Jawaban:
C’(x) = 3x² − 6x + 2

Kesalahan Umum dalam Mengerjakan Soal Turunan

Beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa antara lain:

  • Lupa mengalikan koefisien dengan pangkat

  • Salah mengurangi pangkat variabel

  • Tidak menurunkan setiap suku secara terpisah

  • Kurang teliti dalam perhitungan

Dengan latihan yang rutin, kesalahan-kesalahan ini dapat dihindari.

Tips Mudah Menguasai Materi Turunan

  1. Pahami konsep dasar turunan sebagai laju perubahan

  2. Hafalkan aturan dasar turunan

  3. Kerjakan soal dari yang sederhana ke yang lebih kompleks

  4. Gunakan langkah penyelesaian yang rapi

  5. Perbanyak latihan agar terbiasa dengan berbagai bentuk soal

Manfaat Mempelajari Turunan

Menguasai materi turunan memberikan banyak manfaat, antara lain:

  • Menjadi dasar untuk mempelajari integral

  • Membantu memahami konsep kecepatan dan perubahan

  • Melatih kemampuan berpikir logis dan analitis

  • Berguna dalam bidang sains, teknik, dan ekonomi

Kesimpulan

Turunan merupakan materi penting dalam Matematika SMA yang membutuhkan pemahaman konsep serta latihan yang konsisten. Dengan mempelajari contoh soal turunan SMA dan pembahasan lengkap seperti dalam artikel ini, siswa diharapkan dapat memahami konsep turunan dengan lebih baik dan mampu mengerjakan soal ujian secara percaya diri.

Lokasi:

Posting Komentar untuk "Contoh Soal Turunan SMA dan Pembahasan Lengkap"